うちのパートナーの場合ですが、癌かもと思って、まずGPに行った際に、内視鏡検査を受けたほうがいいとのことだったので、公的機関に予約してもらうようにしましたが、多分緊急度が低いせいか時間がかかりそうだったので、結局自費で内視鏡検査をしました。（それでも１週間程度予約またないといけませんでした。）幸いうちの場合は癌ではなかったので、問題ありませんでしたが、もし、そこで癌とわかったら、その内視鏡の検査の結果を持って行って、そこからの治療は公費で行うってこともできるはずです。

公費のみで受ける場合は地域によってかなり待ち時間に差があるようなので、GP受信時に「urgent referralになるレベルか」「high suspicion of cancer扱いか」「待ち時間はどのくらいか」「privateで早めるべき検査はあるか」など知りたいことを聞くのが一番です。
そして、スペシャリストなど紹介してもらったのになかなか連絡がこないようなら、GPからまた連絡を入れてもらうとよいと思います。

不安なことだとは思いますが、今後の予定が滞りなくすすむことをお祈りしています。

心中お察しいたします。
私の主人の場合なのですが、5年前に前立腺がんが発覚しました。こちらの医療システムは、GP（かかりつけ医）がいかに緊急性を高く総合病院（National Hospital）へ伝えてくれるかによって対応が変わるとおもいます。幸い、主人の場合はGPが迅速に動いてくれたため、10日以内（Within 10 days）に病院から連絡が届き、すぐに治療を始めることができました。
あれから5年が経った今も、総合病院から定期的に案内があり、半年に一度のペースで健診を受けています。おかげさまで、幸いにも今のところ再発はありません。

とびさん・若しくはお知り合いの方のの治療やお手続きが、どうか迅速に進みますよう心より祈っております。不安な日々が続くと思いますが、どうかご無理をなさらず、お体を大切にしてくださいね。