下記のウェブサイトを確認してみてください。
https://www.immigration.govt.nz/process-to-apply/once-you-have-a-visa/manage-your-visa-and-passport/transferring-a-visa-to-a-new-passport/

こんにちわ
今持っているPR visaをRENEWした日本のPASSPORTへ移すという理解でよろしいですか。それならちょうど私も昨日しました
NZのIMMIGRATIONのWEBでApplication for transfer or confirmation of a visaから手続きしていきました　
事前に準備しておくものは
新旧両方パスポートの顔写真ところのコピー　　　これFORMへUPLODEしますので

eVISAは無料で　従来のステッカーを選択する場合は有料ですが　NZのIMMIGRATIONへ郵送するそうです　

もし詳しく手順などを知りたい場合はCHAT GPTなどで確認してみてはいかがですか

移民局がメールでの受付対応をしていない様なので、電話での直接の問い合わせをするしかないのではないかと思います。

https://www.immigration.govt.nz/contact-us/

このトピックにビザトランスファーに関して記載されていますが、投稿が5年ほど前のものなので、今は変更になっている可能性があります。

https://nzdaisuki.com/topic/living/visa-transfer-to-new-passport

ご参考になれば幸いです。